CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES Y LAS FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS

Clasificación de funciones

Ya hemos visto en anteriores ocasiones, algunas de las funciones que hay; incluso, hemos estudiado las características de algunas de ellas, como las rectas, parábolas o hipérbolas, entre otras.

En esta ocasión daremos una clasificación propiamente dicha de los distintos tipos de funciones que nos podemos encontrar en las matemáticas.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA VARIABLE X:

En primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la variable independiente x en dos tipos: algebraicas y trascendentes.

*Funciones algebraicas: 

Este tipo de funciones corresponden a ecuaciones polinómicas , donde se pueden efectuar operaciones en las que interviene la variable independiente, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz.

Dentro de las funciones algebraicas nos encontramos:

– Funciones constantes: donde la función viene definida por una constante y no interviene la variable independiente: y=f(x)=k

-Funciones lineal: La representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas: y=mx+n.

-Función afín: Esta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se trata de una recta cualquiera del plano: y= mx

-Función cuadrática: Viene expresada por una función polinómica de segundo grado, como era de esperar, y su representación es una parábola.

-Funciones racionales: Se expresan mediante el cociente de polinomios.

-Funciones radicales: Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica.

-Funciones a trozos: Son funciones definidas por una función distinta en cada intervalo (o trozo) que se considere.

*Funciones trascendentes: 

Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, como puede ser en la trigonometría, entonces hablamos de funciones trascendentes.

Dentro de las funciones trascendentes están:

-Función exponencial: Como su nombre indica es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.

-Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente. (En este caso la variable independiente nos da el valor de la función exponencial)

-Funciones trigonométricas: Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas: y=senx, y=cosx, y=sec x, etc.

CLASIFICACIÓN SEGÚN LA DEFINICIÓN

Según nos venga dada la definición de la función también podemos establecer una clasificación:

-Función explícita: Cuando podemos obtener los valores de y directamente dando valores a nuestra variable independiente, es decir, cuando la variable y está despejada.

-Función implícita: Cuando, al contrario que en el caso anterior, tenemos que realizar operaciones para halla el valor de la y una vez que le hemos dado un valor a la x: 3x+2y=1

Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo

"Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

Funciones general, inyectiva, sobreyectiva y biyectiva

"Inyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

"Sobreyectivo" significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

"Biyectivo" significa Inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Definiciones formales

• Inyectivo

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

Ejemplo: f(x) = x2 del conjunto de los números naturales naturales a naturales es una función inyectiva.

(Pero f(x) = x2 no es inyectiva cuando es desde el conjunto de enteros enteros (esto incluye números negativos) porque tienes por ejemplo

f(2) = 4 y

f(-2) = 4)

Nota: inyectiva también se llama "uno a uno", pero esto se confunde porque suena un poco como si fuera biyectiva.

• Sobreyectivo (o también "epiyectivo")

Una función f (de un conjunto A a otro B) es sobreyectiva si para cada y en B, existe por lo menos un x en A que cumple f(x) = y, en otras palabras f es sobreyectiva si y sólo si f(A) = B.

Así que cada elemento de la imagen corresponde con un elemento del dominio por lo menos.

Ejemplo: la función f(x) = 2x del conjunto de los números naturales naturales al de los números pares no negativos es sobreyectiva.

Sin embargo, f(x) = 2x del conjunto de los números naturales naturales a naturales no es sobreyectiva, porque, por ejemplo, ningún elemento de naturales va al 3 por esta función.

• Biyectiva

Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

Alternativamente, f es:

biyectiva si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo: La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

(Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo

f(2)=4   y   f(-2)=4)

¿De que me sirve esto en mi vida cotidiana?

Cuando entramos en un super mercado, podemos darnos cuenta de cada producto tiene su propio precio.

• EJERCICIOS:

Identifica las siguientes funciones:

https://www.youtube.com/watch?v=xY359UO5Oms